来源：于人类行为密码   作者：夏海宁 译

四位科学家2013年8月7日

在谷歌Hangout上

回答大脑和心灵的问题

数学与大脑究竟是什么关系？

数学是宇宙固有的，还是仅仅是人类大脑

用来应付和解释我们的环境而形成的？

作者/Margie Patlak

译者/夏海宁

最近发现了希格斯玻色子，这是通过数学公式预测得到的，显示了数学描述和预测世界-从DNA的螺旋结构和星系的螺旋状，到流行病的传播速度和我们宇宙的膨胀等等。但这是说明我们世界上的所有事物本质上都是数学的并且遵循精确的规则吗？还是大脑在自己的经验上织出的一幅有序的图画？

随着神经科学家对我们似乎天生的数学能力的研究，大脑中负责数学思维的区域已经变得清晰，数学的起源已成为辩论的热门话题。科学家还发现，某些数学能力会因文化而异，并取决于我们与世界互动的方式。两种类型的发现都表明数学是人为建构的，而非决定宇宙如何形成的规则。

为了举办探讨数学起源及其重要性的辩论，Kavli基金会与两位物理学家（神经科学家和认知科学家）举办了一个圆桌讨论。

参与讨论的这四位科学家是：

Brian Butterworth-伦敦大学学院认知神经科学研究所认知神经心理学特聘教授；

Simeon Hellerman-日本东京大学卡夫里宇宙物理与数学研究所副教授；

Rafael Núñez-加州大学圣地亚哥分校认知科学教授，加州大学圣地亚哥分校卡夫里脑力与心理研究所成员；

Max Tegmark-麻省理工学院物理学教授，麻省理工学院卡夫利天体物理与空间研究所成员。

卡夫里基金会（TKF）：让我们先从Tegmark博士开始讨论他的假设，即宇宙在本质上是数学上的构造方式，除了根据数学规则之外，并没有其他任何行为方式。（译者：Tegmark写了题图那本著名的书，叫《数学的宇宙》 ，可以说是把古老的毕达哥拉斯的信念贯彻的极为彻底，不仅万物皆数，而且万物服从数学法则 ）

MAXTEG MARK：这实际上是一个古老的概念。甚至伽利略也宣称宇宙是一本用数学语言写成的伟大著作，因为他被当时发现的所有天文学规律所震惊，例如行星的精确圆形或椭圆形轨道。此后很长一段时间，根据数学原理预测了一整套亚原子粒子，然后发现了希格斯玻色子。非欧几里得几何学甚至早在几个世纪之前就预测了外太空弯曲形状的可能性。因此，自然界显然在向我们暗示宇宙是数学的。通过提出我们的整个物理现实不仅仅用数学来描述，它已经达到了极致，它是一种数学结构，除了数学属性外没有其他属性。

也许有人会说他们的猫具有可爱、黑色和略带神经质的特性。但是，猫实际上是非常精细的粒子排列，例如电子，它们纯粹是数学对象，从某种意义上讲，它们除了数学性质外没有其他性质，例如数字，如一半，负一和一，物理学家已经命名了自旋，电荷和轻子数。如果我们从微观尺度放大到宇宙的最大尺度，我们就会意识到空间本身也是纯数学的，除了维数，曲率和拓扑等数学属性外，没有其他属性。

TKF：Hellerman博士，作为物理学家，您是否同意Tegmark博士的数学宇宙假设？

Simeon Hellerman，研究如何将弦论应用于宇宙初期的重力动力学中

SIMEON HELLERMAN：我认为包括我在内的许多物理学家都同意应该对宇宙和自然定律进行一些完整的描述。该假设的隐含之处是宇宙本质上是数学的。希格斯玻色子的发现完善了物理学家所谓的标准模型，其他人则称其为“万物理论”，这是这种思想的一个很好的例子，即应该存在一些完整的，数学上一致的自然描述。尽管标准模型中的原理在原子或亚原子粒子上都适用（在量子物理学的水平上），但是它们在与基本物理学（例如重力定律）的关系方面可能存在不一致之处。但是，越来越多的有说服力的证据证明将引力引入模型中，并且仍然具有一个内部一致的数学框架。

MAX TEGMARK：通常，当我们从模型中获得的收益超过模型投入时，我们会感到向前迈出了一步。希格斯玻色子是一个很好的例子。许多数学家认为他们并没有发明数学结构，只是发现了它们-这些数学结构独立于人类而存在。

TKF：Butterworth博士，您假设数学是一种源自我们大脑的结构。什么支持该假设？

Butterworth合著了《数学大脑》，本书从神经心理学角度探索了数字和算术，并为算术和阅读建模了神经网络。

Brian Butterworth：我们弄清了人脑的某个区域有个专门的神经网络，该网络可以对一组物体的计数进行响应。大脑的这一区域可以识别各种形态的数字。换句话说，它可以识别三只猫、三个音调或三个愿望。猴子大脑中类似的区域也可以完成相同的工作。我们甚至发现了孔雀鱼（一种带有小脑的小鱼）有个系统可以感受到四个物体，还有个系统可以感受更多物体。我的观点是，人类演化出了这样一个大脑系统，它可以感知和比较一组物体中的个数。人类为这些数字赋予了象征意义，并将其发挥直至，创造出了Max和Simeon描述宇宙所需的各种数学。数字不一定是宇宙的属性，而是描述宇宙某些方面的一种非常有效的方式。

TKF：所以您不同意Tegmark博士关于电子仅仅是数字的观点？

Brian Butterworth：是的，因为之所以要对现象进行物理解释，必须出于某种原因。但是数字怎么可能是原因呢？确实可以使用数字来描述电子特性，但这并不意味着这些数字实际上是该物理对象的特性。比如“2”可以是一组物体的属性，例如两个杯子或两个电子。但是“2”与它所描述的这个物体组的属性是无关的。2个杯子并不同于2个电子，因此“2”并不产生杯子也不产生电子，其间并无因果关系。

TKF：Núñez博士，您的研究发现了文化差异对数学能力的影响，并暗示人类是从与世界的互动中学到数学规则的，您对这些假设有何看法？

Núñez，著有《数学从何而来：体验性如何将数学引入存在？》（Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind BringsMathematics into Being）一书的合著者，他做了许多田野研究、心理实验和神经影像研究，以探索数学的基础和属人特性。

RAFAEL NÚÑEZ：我同意Brian的观点，数字不是宇宙本身的特性，它们只是人类理解世界的生物学基础。数学是人类想象力的一种形式，它不仅基于大脑，而且被文化所塑造，这点至关重要。的确，没有大脑，我们就无法进行数学运算，但也确实需要大脑来弹钢琴、打网球或滑雪板。这些动作都不是由基因决定的。做这些事情都需要大脑，但我们还需要一种复杂的文化环境来塑造基本的脑功能，即脑功能如何被调用和得以表达。数学原理的发明需要大脑的支撑，不过这些原理并非直接来自大脑的某特定区域。

TKF：您能举一个支持数学可以被文化塑造的例子吗？

RAFAEL NÚÑEZ：我们来举个例子。数学上0的阶乘等于1，即“0阶乘=1”。这种“真相”在宇宙的任何地方都不存在，也不是直接从大脑活动中得出的。但是在数学实践中，某些数学家觉得到他们需要这个“真相”来解决某些问题，所以就把它认作为所谓“真相”。在现代数学中，这通常是通过形式定义和公理来完成的。这个就是文化实践的结果，它不仅是常规的，而且是种高度受限的文化实践。为了研究数字概念，我在巴布亚新几内亚等世界偏远地区以及安第斯山脉的高地进行了研究。有些文化使用精确的数字概念，而另一些文化甚至没有数字8或11的概念，因为它们的语言中没有什么词能将8或11与9或10进行区分。在对这类细分文化实践的研究中，你会看到一些基本数字概念并不存在，如精度概念。

BRIAN BUTTERWORTH：您是说数学是一种文化发明，是任意的？

RAFAEL NÚÑEZ：不，因为文化不是任意的。文化习俗是有制约的，特别是受到影响该文化中个体的生物学制约。例如，口音与文化语言习俗有关，而文化习俗并非由基因决定。我的基因中没有任何东西决定了我的母语只能是西班牙语，或者决定了我说的英文必须带西班牙语口音。而且，人类并不能以任何频率任意发声，因为它们受到了生物学的限制。所以，文化并非是任意的。

Brian Butterworth：您说过，如果没有9这个词，就不会有9这个概念。但是17世纪的英国哲学家约翰·洛克（John Locke）说过，他们与亚马孙印第安人进行交谈，可是他们的数字词汇没有超过5的。但是，如果要求这些印第安人解释比5大的数字，那么他们会举起自己的手指以及举起其他人的手指来表示。因此，尽管他们没有表示大于5的词汇，但他们一样能表示这些大于5的概念。从我们自己对澳洲文化的研究看，尽管他们没有相关的量词，但如果您以适合他们文化的方式表示某个数量，您会发现这些孩子的数字概念和算术概念与讲英语的孩子是一样的。

RAFAEL NÚÑEZ：我同意我们可以设想一个具有103个边的规则多边形，即使我们没有响应的词来称呼它。但是我不认为这是问题的本质。实际上，我不认为数学的起源最终与数字有关。相反，它更多地涉及逻辑约束、假设和公理和推论机制等。一个擅长大量数字计算的会计师并不是个好的数学家。数字是有用的，但不必然构成数学基石。而且，我们有许多不同的逻辑原理或公理可供选择，每种逻辑原理或公理可能在内部是一致的，但彼此之间是不兼容的。因此，例如，您不能从某个公理出发就确信宇宙中关于无限性的某个特定陈述是正确的，因为这些公理本身是人类想象力的产物，而想象力受到语言和文化制约。宇宙中并没有固有的逻辑形式。人类在不同的语境下根据不同的目的而使用不同类型的逻辑进行操作。

SIMEON HELLERMAN：但我们知道，给定了一般逻辑推理规则，就可以构造所有涉及数字的运算。因此，我们可以同意整数和所有形式的几何定律是自洽和普遍的，无论在自然界中是否能得到实现。

Brian Butterworth：目前尚不确信你可以仅从逻辑中获得所有数字属性，也不确信逻辑是否必须依赖算数运算，后者倒是可以让各种复杂程度不一的逻辑推理变得容易些。在任何情况下，形式逻辑都不足以推导出我们所感兴趣的任何一门数学，即使是我们所熟悉的相对简单的算术。我认为形式推理起源于我们的大脑额叶，而数学公理则来自大脑的顶叶。额叶是数字概念操作的场所，在此基础上让我们理解全部数学。

MAX TEGMARK：不同的文化在演化中并不会产生各种数学所对应的概念和单词、但是我认为它们都会产生一些最实用的概念。所有文化都会发现有必要区分一和二，这样他们才能知道是否把一个孩子拉在林子里了。鸭子真的就很清楚身后有多少小鸭在跟着游。而研究抽象代数则不同，它肯定不是对所有文化都同等重要。

RAFAEL NÚÑEZ：是的。从伽利略时代开始，数学的创立和发展与物理学紧密地交织在一起，所以不奇怪数学与我们观察到的自然界现象十分吻合。几个世纪以来，我们一直在挑选那些对我们（物理学）有用的数学，而舍弃那些对我们（物理学）无用的数学。到今天，物理学如果没有与之相伴的数学，将不复存在。您把数字属性说成似乎独立存在于宇宙之中的东西，但是实际上，在数学之所以成为今天这个样子，是因为我们对各种数学理论进行选择的结果。例如，集合论说空集是每个集合的子集，可是在宇宙中根本没有物理上的对应。但是，我们现在发现需要这个“真实”，所以就把它接受为“真实”了。在整个数学史上，这种摘樱桃式的选择不断发生，特别式在19世纪之后，随着非欧几何的发明，改变了过去设定的某些假设和公理，并创建了现代新的逻辑系统。

MAX TEGMARK：不过有意思的是，非欧几何是在200年前发明的，当时的物理学家认为它不描述我们生活的物理空间，因为我们的生活空间是平坦而非弯曲的，所以两条平行线永远不会相交。然后出现了爱因斯坦，他研究了非欧几何后，认为空间是弯曲的，说明光线会在太阳附近弯曲，而事实上就是这样，并且预测并发现了黑洞。您不认为这样的数学可以预测自然事物这个事实令人惊讶吗？

RAFAEL NÚÑEZ：是的，乍一看似乎令人惊讶，但是当您深入研究时，您会意识到，并不是数学家发明的所有工具都可以在物理学中找到对应物。我们人类非常善于尝试理解事物并擅长为此目的开发新工具。您所说的是数学在自然中成功的例子。但是，所有那些不成功的例子怎么说？例如无法进行精确的天气预报？科学中整个数学传奇故事就是不断发明出新的数学工具，用来帮助做出可检验的预测，并保持有效的工具和丢弃无用的工具。但是，纯数学中有太多东西在经验科学中既无法验证，也没有用处。

Brian Butterworth：那那些只能用概率来描述的事物呢，例如电子在任何时间点的位置。Max，这与您的假设相符吗？

MAX TEGMARK：量子力学著名地打破了因果关系的古老观念。在某些实验中，你无法确定会发生什么，但是你仍可以采用纯粹的数学描述（如薛定谔方程），并肯定这个描述永远适用于所有事物，因此不存在随机或不确定的问题。这只是意味着实际的现实整体大于我们的可见现实。

TKF：您是说，主观和随机只是我们的感受，但还是存在一个我们无法感受到的秩序？

MAX TEGMARK：是的。就像有人将你的一个克隆放在标着A的房间里，而把你自己放在标着B的房间里。当你第二天早晨走出房间试图看自己房间的标记时，因为您无法知道自己是否是克隆人，所以无法确定你究竟会看到A还是B。你究竟从A还是B房间走出来对你来说似乎在主观上是随机的，但是同时观察您和您的克隆的那个人却能够预测，你的克隆一定从A房间走出来而你会从B房间走出来。

TKF：让我们停止这个讨论而转向讨论我们为什么需要了解数学的起源。了解这个对于你们所说的各种理论有什么实际意义吗？

BRIAN BUTTERWORTH：了解数学的起源对教育很重要。如果我们的数学能力是基于我们的先天系统之上的，那么随着大脑的基因遗传变化，就会出现问题，即有人将无法按通常方式来学习算术。你必须找到不同的方法来教这些人算术，就像你必须找到不同的方法来教患有阅读困难症（dyslexics）的病人那样。

MAX TEGMARK：如果数学是宇宙固有的，那么数学可以为我们提供解决未来物理问题的提示。如果我们真的相信自然在本质上是数学的，那么当我们遇到我们位置的的现象时，我们就应该去寻找数学模式和规律。在过去的500年中，这种解决问题的方法一直是物理学成功的核心。

SIMEON HELLERMAN：我同意Max的观点并想补充一点，在物理科学中，理论的黄金标准是它可以定性地预测新现象。如果我们认为数学是如此受文化约束和随意，以至于可以描述您所观察到的一切（例如对于希格斯玻色子，也许它存在，也许它不存在，无论是哪种情况，都可以用民主的方式来决定用什么数学来描述），那么物理学中将会有很多事情都不必费心去做了，也不会取得我们过去取得的成功。

RAFAEL NÚÑEZ：我同意Brian的观点，即理解数学的起源对教育能够做什么和应该做什么有巨大的影响。它也会影响我们对其他文化的信仰和逻辑的理解。许多战争的发生是由于不了解另一种文化的逻辑。逻辑系统所体现的数学原理被嵌入了我们的法律体系和宗教信仰中，而这两者决定了人的行为。理解数学的起源将有助于我们更好地理解人性。

MAX TEGMARK：我真的很喜欢这种跨学科的对话。也许我和Simeon比神经科学家更倾向自然界的本质是数学的，这是因为用数学来描述一个微小电子要比研究构成人脑的无数电子要容易得多。大脑中有美丽的复杂性，我们还有太多工作需要做，无论世界的本质是数学的或不是数学的。

BRIAN BUTTERWORTH：仍然有一些未解决的问题。例如，如果没有数学来描述希格斯玻色子，它还会存在吗？也许最好要喝上几杯后才能解决这个问题。